Falls Sie schon bei uns registriert sind, melden Sie sich bitte hier mit Ihrer E-Mail-Adresse und Ihrem Passwort an.
Sie haben Fragen oder Probleme mit Ihrem Login oder Abonnement? In unseren häufig gestellten Fragen finden Sie weitere Informationen zu unseren Angeboten.
Die Kellersche Vermutung besagt, dass jeder lückenlos mit gleichgroßen Kacheln bedeckte Raum notwendigerweise zwei Fliesen enthält, die eine gemeinsame Kante vollständig teilen.
Diese Hypothese weitete Keller vor 90 Jahren auf jede beliebige Raumdimension aus. Fachleuten gelang es, alle Fälle zu beweisen oder zu widerlegen – bis auf den siebendimensionalen Raum.
Indem vier Mathematiker das Problem auf die Graphentheorie übertrugen und mit cleveren Tricks für einen Computer übersetzten, konnten sie nun auch den siebendimensionalen Fall lösen.
Vor 90 Jahren stellte Ott-Heinrich Keller (1906–1990) während seiner Dissertation eine inzwischen nach ihm benannte Vermutung auf, die mit der Kachelung von Räumen zu tun hat. Keller war kein Fliesenleger, sondern Mathematiker. Die Räume, denen er sich widmete, gingen deshalb über gewöhnliche dreidimensionale Quader hinaus. Er fing aber mit einem einfachen Beispiel an: Angenommen, man wolle die unendlich große zweidimensionale Ebene mit quadratischen Fliesen bedecken, ohne dass diese sich überlappen oder Freiräume entstehen. Dann müssen die Kanten von mindestens zwei Fliesen vollständig aufeinandertreffen. Die Vorhersage weitete er auf jede beliebige Dimension aus: Füllt man etwa einen zwölfdimensionalen Raum mit zwölfdimensionalen »quadratischen« Kacheln, werden am Ende stets zumindest zwei genau aneinanderstoßen.
Beweisen konnte Keller seinen Verdacht allerdings nicht. Und auch andere Mathematikerinnen und Mathematiker scheiterten: Im Lauf der Jahrzehnte griffen sie die Vermutung immer wieder auf und konnten sie für gewisse Dimensionen sogar belegen. In anderen Fällen zeigten sie hingegen, dass Keller falschlag. 2002 waren schließlich alle Dimensionen abgearbeitet – nur der siebendimensionale Raum blieb übrig. Erst im Oktober 2019 konnte endlich auch diese letzte offene Frage geklärt werden. Geknackt hatten das Rätsel aber nicht allein Wissenschaftler, sondern Computer. Das Ergebnis ist ein weiteres Beispiel dafür, wie menschlicher Einfallsreichtum in Verbindung mit hoher Rechenleistung einige der schwierigsten Probleme der Mathematik lösen kann.
Die Autoren der Arbeit, Joshua Brakensiek von der Stanford University, Marijn Heule und John Mackey von der Carnegie Mellon University und David Narváez vom Rochester Institute of Technology, brauchten 40 Rechner, um die Aufgabe zu bewältigen. Nach nur 30 Minuten lieferten diese eine kurze Antwort: Ja, die Vermutung trifft in sieben Dimensionen zu. Glücklicherweise muss man das Ergebnis nicht einfach nur so hinnehmen. Der elektronische Output wird von einem langen Beweis begleitet, der erklärt, warum die Hypothese in siebendimensionalen Räumen richtig ist. Zwar ist die Argumentation zu umfangreich, dass Menschen sie verstehen. Aber andere Computerprogramme können sie gesondert überprüfen. Auch wenn man also nicht weiß, wie die Rechner die Kellersche Vermutung im Detail gelöst haben, kann man sicherstellen, dass ihr Resultat richtig ist …
Deutschlands Stromnetz scheint am Limit – doch die Netzbetreiber halten die Gefahr von Stromausfällen derzeit für gering. Die Herausforderungen werden nach dem Winter jedoch nur noch größer. Außerdem in dieser Ausgabe: Sind blaue Räume besser als grüne? Und wie erschafft man unknackbare Funktionen?
Mathematische Muster sind abstrakt und theoretisch? Mitnichten: Wer mit offenen Augen durch die Welt geht, findet überall in der Natur ihre Spuren - von Vogelfedern über Blütenformeln bis hin zu Luftwirbeln und Basaltsäulen.
»Spektrum der Wissenschaft« erklärt im Artikel »Wunderwerk der Antike«, wie der rätselhafte Mechanismus von Antikythera funktionierte. Außerdem im Heft: Dunkle Materie; Altern: Demografischer Wandel mit Folgen; Quantencomputer: Fehler beheben, bevor sie entstehen.
Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.
Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Zuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Zuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmende sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Zuschriften können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!
Brakensiek, J. et al.: The resolution of Keller's conjecture. ArXiv 1910.03740, 2019
Lagarias, J. C., Shor, P. W.: Keller’s cube-tiling conjecture is false in high dimensions. Bulletin of the American Mathematical Society 27, 1992
Mackey, J.: A cube tiling of dimension eight with no facesharing. Discrete & Computational Geometry 28, 2002
Bleiben Sie auf dem Laufenden mit unserem kostenlosen Newsletter – fünf Mal die Woche von Dienstag bis Samstag! Sie können unsere Newsletter jederzeit wieder abbestellen. Infos zu unserem Umgang mit Ihren personenbezogenen Daten finden Sie in unserer Datenschutzerklärung.